Matemática: razão, proporção e regra de três · Aula 1 de 4
Razão e proporção: conceito, escala e velocidade
Entenda razão como comparação por divisão, use escalas de mapas e plantas, calcule velocidade média e aplique a propriedade fundamental das proporções.
O que é razão
Razão é a comparação entre dois números por meio de uma divisão. A razão entre a e b (com b diferente de zero) se escreve a/b ou a : b e se lê "a está para b".
- Numa sala com 12 meninas e 18 meninos, a razão entre meninas e meninos é 12/18, que simplificada dá 2/3: para cada 2 meninas há 3 meninos.
- A razão entre meninas e o total de alunos é 12/30 = 2/5.
O primeiro número é o antecedente e o segundo é o consequente. A ordem importa: "meninos para meninas" seria 18/12 = 3/2.
Atenção
Leia com cuidado se a pergunta compara uma parte com a outra parte ou uma parte com o todo. Essa troca é o erro mais comum em provas.
Razões que têm nome próprio
Escala
Em mapas e plantas, a escala é a razão entre a medida no desenho e a medida real, na mesma unidade.
Exemplo
Num mapa de escala 1 : 50.000, cada 1 cm do desenho representa 50.000 cm na realidade, ou seja, 500 m. Se duas cidades estão a 7 cm uma da outra no mapa, a distância real é 7 × 500 m = 3.500 m = 3,5 km.
Velocidade média
Velocidade média é a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto.
Exemplo
Um ônibus percorre 240 km em 3 horas. Velocidade média = 240 ÷ 3 = 80 km/h. Se o tempo for dado em minutos, converta: 45 minutos = 0,75 hora. Percorrer 60 km em 45 minutos é 60 ÷ 0,75 = 80 km/h.
Densidade demográfica
É a razão entre o número de habitantes e a área. Uma cidade com 90.000 habitantes e 300 km² tem densidade de 90.000 ÷ 300 = 300 habitantes por km².
O que é proporção
Proporção é a igualdade entre duas razões: a/b = c/d. Lê-se "a está para b assim como c está para d".
Exemplo: 2/3 = 8/12 é uma proporção, porque as duas frações valem o mesmo.
Propriedade fundamental
Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios:
se a/b = c/d, então a × d = b × c.
Essa propriedade é a ferramenta para descobrir um termo desconhecido.
Exemplo
Resolva x/15 = 4/6. Multiplicando em cruz: 6 × x = 15 × 4 → 6x = 60 → x = 10.
Outra propriedade útil: soma dos termos
Se a/b = c/d, então (a + c)/(b + d) também é igual a essas razões. Isso ajuda quando o problema dá a soma de dois números e a razão entre eles.
Exemplo
Dois números somam 56 e estão na razão 3/5. Quais são? Pense em "partes": 3 partes + 5 partes = 8 partes. Cada parte vale 56 ÷ 8 = 7. Os números são 3 × 7 = 21 e 5 × 7 = 35.
Dica
O método das "partes" resolve de cabeça a maioria das questões de razão com soma ou diferença. Na diferença, faça o mesmo: se a razão é 3/5 e a diferença é 14, a diferença em partes é 2, então cada parte vale 7.
Exercícios
Exercício 1
Numa empresa trabalham 45 homens e 30 mulheres. Qual é a razão entre o número de mulheres e o total de funcionários, na forma mais simples?
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Total = 45 + 30 = 75. Razão mulheres/total = 30/75. Dividindo por 15: 2/5. Cuidado para não responder 30/45 = 2/3, que seria mulheres para homens.
Exercício 2
A planta de um apartamento tem escala 1 : 100. Uma sala aparece com 4,2 cm por 3,5 cm. Qual é a área real da sala?
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Escala 1 : 100 → 1 cm no desenho vale 100 cm = 1 m. Medidas reais: 4,2 m e 3,5 m. Área = 4,2 × 3,5 = 14,7 m². Atenção: a escala vale para comprimentos; a área é calculada depois de converter cada medida.
Exercício 3
Um ciclista percorreu 18 km em 1 hora e 12 minutos. Qual foi sua velocidade média em km/h?
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1 h 12 min = 1 + 12/60 = 1,2 hora. Velocidade = 18 ÷ 1,2 = 15 km/h. Erro comum: usar 1,12 hora — minutos não são casas decimais da hora.
Exercício 4
Determine x na proporção (x + 2)/9 = 4/6.
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Produto dos extremos = produto dos meios: 6(x + 2) = 9 × 4 → 6x + 12 = 36 → 6x = 24 → x = 4. Conferindo: (4 + 2)/9 = 6/9 = 2/3 e 4/6 = 2/3.
Exercício 5
Ana e Bruno dividiram uma conta de R$ 210,00 na razão 3 : 4. Quanto pagou cada um?
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3 + 4 = 7 partes; cada parte vale 210 ÷ 7 = 30. Ana: 3 × 30 = R$ 90,00; Bruno: 4 × 30 = R$ 120,00.
Na próxima aula você vai ver quando duas grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais — a base da regra de três.