Matemática: razão, proporção e regra de três · Aula 2 de 4
Grandezas diretamente e inversamente proporcionais
Aprenda a reconhecer grandezas diretas e inversas, evite a armadilha das que não são proporcionais e divida valores em partes proporcionais.
Grandeza é tudo o que se pode medir
Tempo, distância, preço, número de operários, velocidade, quantidade de farinha: tudo isso são grandezas. A pergunta desta aula é simples: quando uma grandeza muda, o que acontece com a outra?
Diretamente proporcionais
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, ao multiplicar uma por um número, a outra fica multiplicada pelo mesmo número. A razão entre elas é constante.
| Pães comprados | 2 | 4 | 6 | 10 |
|---|---|---|---|---|
| Valor pago (R$) | 1,50 | 3,00 | 4,50 | 7,50 |
Dobrou a quantidade, dobrou o valor. A razão valor/pães é sempre 0,75 — o preço de cada pão.
Exemplo
Outros pares diretos: distância percorrida e combustível gasto (com o mesmo carro e o mesmo trajeto); horas trabalhadas e salário por hora; quantidade de ingredientes e número de porções.
Inversamente proporcionais
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, ao multiplicar uma por um número, a outra fica dividida por esse número. O que é constante agora é o produto entre elas.
| Velocidade (km/h) | 40 | 60 | 80 | 120 |
|---|---|---|---|---|
| Tempo de viagem (h) | 6 | 4 | 3 | 2 |
Em todas as colunas, velocidade × tempo = 240 (a distância). Dobrou a velocidade, o tempo caiu pela metade.
Exemplo
Outros pares inversos: número de pessoas trabalhando e tempo para terminar a mesma obra; número de torneiras iguais e tempo para encher o tanque; número de pessoas e quantidade de bolo para cada uma.
Cuidado: nem tudo é proporcional
Muitas grandezas "crescem juntas" sem serem proporcionais.
Atenção
A idade e a altura de uma criança crescem juntas, mas uma criança de 10 anos não tem o dobro da altura de uma de 5. A conta de luz com taxa fixa também não é proporcional ao consumo: com taxa mínima de R$ 20,00 mais R$ 0,80 por kWh, consumir o dobro não dobra a conta.
Para testar: monte uma pequena tabela. Se a razão (diretas) ou o produto (inversas) não se mantiver constante, não use regra de três.
Divisão em partes diretamente proporcionais
Dividir um valor em partes diretamente proporcionais a alguns números é dar mais a quem tem o número maior.
Exemplo
Três sócios investiram R$ 20 mil, R$ 30 mil e R$ 50 mil e vão dividir um lucro de R$ 12.000,00 proporcionalmente ao investimento. Simplifique os números: 2, 3 e 5 (soma 10). Cada parte vale 12.000 ÷ 10 = 1.200. Os sócios recebem R$ 2.400,00, R$ 3.600,00 e R$ 6.000,00. Conferência: 2.400 + 3.600 + 6.000 = 12.000.
Divisão em partes inversamente proporcionais
Aqui quem tem o número maior recebe menos. O truque é dividir em partes diretamente proporcionais aos inversos dos números.
Exemplo
Um prêmio de R$ 1.300,00 será dividido entre dois funcionários em partes inversamente proporcionais ao número de faltas: um faltou 2 vezes e o outro 3. Inversos: 1/2 e 1/3. Multiplicando os dois por 6 (o MMC dos denominadores), ficam 3 e 2. Agora é divisão direta em 3 + 2 = 5 partes; cada parte vale 1.300 ÷ 5 = 260. Quem faltou 2 vezes recebe 3 × 260 = R$ 780,00; quem faltou 3 vezes recebe 2 × 260 = R$ 520,00.
Dica
Confira sempre se a soma das partes dá o total e se quem "merecia mais" realmente recebeu mais. Esse teste rápido pega a maioria dos erros.
Exercícios
Exercício 1
Classifique: (a) número de páginas impressas e tempo de impressão na mesma impressora; (b) número de pintores iguais e dias para pintar o mesmo muro; (c) lado de um quadrado e sua área.
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(a) Diretamente proporcionais: o dobro de páginas leva o dobro do tempo. (b) Inversamente proporcionais: o dobro de pintores leva metade dos dias. (c) Não são proporcionais: dobrando o lado, a área fica 4 vezes maior (área = lado²).
Exercício 2
Divida 900 em partes diretamente proporcionais a 4, 5 e 6.
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4 + 5 + 6 = 15 partes; cada parte vale 900 ÷ 15 = 60. Partes: 240, 300 e 360. Soma: 900.
Exercício 3
Uma herança de R$ 66.000,00 será dividida entre três irmãos em partes inversamente proporcionais às idades: 2, 3 e 4 anos. Quanto recebe o mais novo?
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Inversos: 1/2, 1/3 e 1/4. MMC de 2, 3 e 4 = 12. Multiplicando: 6, 4 e 3 (soma 13). Cada parte: 66.000 ÷ 13 ≈ 5.076,92. O mais novo recebe 6 partes ≈ R$ 30.461,54. (Os outros: 4 partes ≈ R$ 20.307,69 e 3 partes ≈ R$ 15.230,77.)
Exercício 4
Um carro a 90 km/h faz um trajeto em 2 horas. Quanto tempo levaria a 60 km/h?
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Grandezas inversas: velocidade × tempo é constante = 90 × 2 = 180 km. A 60 km/h: 180 ÷ 60 = 3 horas.
Na próxima aula, essas ideias viram um método rápido: a regra de três simples.