Matemática: razão, proporção e regra de três · Aula 4 de 4
Regra de três composta sem confusão
Resolva regra de três composta comparando cada grandeza com a da incógnita, monte a equação certa e treine com problemas de operários e máquinas.
Quando usar
A regra de três composta aparece quando há três ou mais grandezas envolvidas. Exemplo típico: operários, horas por dia, dias e metros de obra. É assunto frequente em concursos de nível médio.
O método da comparação com a incógnita
O segredo é comparar cada grandeza só com a grandeza do x, fingindo que as outras ficam paradas.
- Monte a tabela com uma coluna por grandeza e marque a coluna do x.
- Para cada outra coluna, pergunte: "se esta grandeza aumentar (e as outras ficarem iguais), o x aumenta ou diminui?".
- Coloque uma seta para baixo na coluna do x. Nas colunas diretas, seta no mesmo sentido; nas inversas, seta no sentido oposto.
- Escreva a razão do x igual ao produto das outras razões, lendo cada coluna no sentido da sua seta (as inversas ficam "de cabeça para baixo").
Exemplo completo
Exemplo
Seis operários, trabalhando 8 horas por dia, levantam 120 m de muro em 10 dias. Quantos dias 4 operários, trabalhando 6 horas por dia, levam para levantar 90 m de muro?
| Operários | Horas/dia | Metros | Dias |
|---|---|---|---|
| 6 | 8 | 120 | 10 |
| 4 | 6 | 90 | x |
Comparando cada coluna com "Dias":
- Mais operários → menos dias: inversa.
- Mais horas por dia → menos dias: inversa.
- Mais metros → mais dias: direta.
Equação (as inversas entram invertidas): 10/x = (4/6) × (6/8) × (120/90)
Calculando o lado direito: (4 × 6 × 120) ÷ (6 × 8 × 90) = 2.880 ÷ 4.320 = 2/3. Então 10/x = 2/3 → 2x = 30 → x = 15 dias.
Dica
Simplifique antes de multiplicar. No exemplo, o 6 de "4/6" cancela com o 6 de "6/8", e 120/90 vira 4/3. Sobra (4/8) × (4/3) = 16/24 = 2/3. Menos contas, menos erros.
Conferência pelo bom senso
Depois de achar o resultado, conte a história: menos operários (4 em vez de 6) e menos horas por dia (6 em vez de 8) aumentam o tempo; menos metros (90 em vez de 120) diminuem o tempo. O resultado 15 dias, maior que 10, combina com o fato de que a mão de obra caiu bastante.
Atenção
O erro mais comum é comparar duas grandezas que não são a do x (por exemplo, operários com metros). Isso não importa para a montagem. Compare sempre com a coluna da incógnita.
Outro formato: produção de máquinas
Exemplo
Cinco máquinas produzem 400 peças em 4 horas. Quantas peças 8 máquinas iguais produzem em 3 horas?
| Máquinas | Horas | Peças |
|---|---|---|
| 5 | 4 | 400 |
| 8 | 3 | x |
Mais máquinas → mais peças (direta). Mais horas → mais peças (direta). 400/x = (5/8) × (4/3) = 20/24 = 5/6 → 5x = 2.400 → x = 480 peças.
Exercícios
Exercício 1
Três impressoras imprimem 900 páginas em 30 minutos. Quantas páginas 5 impressoras iguais imprimem em 45 minutos?
Ver resposta
Impressoras e páginas: direta. Minutos e páginas: direta. 900/x = (3/5) × (30/45) = 90/225 = 2/5 → 2x = 4.500 → x = 2.250 páginas.
Exercício 2
Oito costureiras fazem 240 camisas em 6 dias. Em quantos dias 12 costureiras fazem 480 camisas?
Ver resposta
Costureiras × dias: inversa. Camisas × dias: direta. 6/x = (12/8) × (240/480) = (3/2) × (1/2) = 3/4 → 3x = 24 → x = 8 dias.
Exercício 3
Para alimentar 20 cavalos durante 15 dias são necessários 900 kg de ração. Quantos kg alimentam 12 cavalos durante 25 dias?
Ver resposta
Cavalos × ração: direta. Dias × ração: direta. 900/x = (20/12) × (15/25) = 300/300 = 1 → x = 900 kg. Faz sentido: menos cavalos, mas por mais tempo, e os efeitos se compensaram exatamente.
Exercício 4
Uma equipe de 9 pessoas, trabalhando 6 horas por dia, digitaliza um arquivo em 20 dias. Quantas pessoas são necessárias para digitalizar o mesmo arquivo em 12 dias, trabalhando 5 horas por dia?
Ver resposta
A incógnita agora é o número de pessoas. Horas por dia × pessoas: inversa (mais horas, menos gente). Dias × pessoas: inversa (mais dias, menos gente). 9/x = (5/6) × (12/20) = 60/120 = 1/2 → x = 18 pessoas.
Agora que a base de proporção está firme, siga para a matemática financeira ou monte seu plano no cronograma de estudos.