Raciocínio lógico para concursos · Aula 1 de 5
Proposições e conectivos lógicos
Saiba o que é e o que não é proposição, diferencie proposições simples e compostas e entenda os conectivos e, ou, ou...ou, se...então e se e somente se.
O que é uma proposição
Proposição é uma frase declarativa que pode ser classificada como verdadeira (V) ou falsa (F) — e só uma das duas. Esses são os dois princípios básicos da lógica clássica:
- não contradição: uma proposição não pode ser V e F ao mesmo tempo;
- terceiro excluído: ou é V, ou é F; não existe terceira opção.
Exemplo
São proposições:
- "Brasília é a capital do Brasil." (V)
- "7 é um número par." (F)
- "Choveu em Recife no dia em que você nasceu." (é V ou F, mesmo que você não saiba qual)
O que não é proposição
As bancas adoram perguntar isso. Não são proposições:
| Tipo de frase | Exemplo |
|---|---|
| Pergunta | "Que horas são?" |
| Ordem ou pedido | "Feche a porta." |
| Exclamação | "Que dia lindo!" |
| Frase sem verbo | "Bom dia." |
| Sentença aberta (com variável) | "x + 3 = 10" ou "Ele é médico." |
| Paradoxo | "Esta frase é falsa." |
Atenção
"x + 3 = 10" não é proposição porque o valor depende de x. Já "existe um número x tal que x + 3 = 10" é proposição (verdadeira): o quantificador fechou a sentença. Pronomes sem referência, como "ele", também deixam a sentença aberta.
Simples ou composta
- Simples: tem uma única ideia. Representamos por letras minúsculas: p, q, r.
- Composta: é formada por duas ou mais proposições simples ligadas por conectivos.
Exemplo: "Ana estuda e Bruno trabalha" é composta por p: "Ana estuda" e q: "Bruno trabalha".
Os conectivos
| Conectivo | Nome | Símbolo | Quando é verdadeira |
|---|---|---|---|
| e | Conjunção | p ∧ q | Só quando as duas são V |
| ou | Disjunção inclusiva | p ∨ q | Quando pelo menos uma é V |
| ou... ou... | Disjunção exclusiva | p ⊻ q | Quando exatamente uma é V |
| se... então... | Condicional | p → q | Sempre, exceto V → F |
| ... se e somente se ... | Bicondicional | p ↔ q | Quando as duas têm o mesmo valor |
E a negação (~p ou ¬p), que inverte o valor: se p é V, ~p é F.
O condicional merece atenção especial
Em "se p, então q", p é o antecedente e q é o consequente. O condicional só é falso quando a promessa é quebrada: antecedente verdadeiro e consequente falso.
Exemplo
"Se fizer sol, vou à praia."
- Fez sol e fui à praia: promessa cumprida (V).
- Fez sol e não fui: promessa quebrada (F).
- Não fez sol e fui mesmo assim: não quebrei a promessa (V).
- Não fez sol e não fui: também não quebrei (V).
Dica
Grave a frase "Vera Fischer é falsa": V → F é o único caso falso do condicional.
Outras formas de dizer "se... então"
As bancas trocam a forma da frase. Todas abaixo equivalem a p → q:
- "Quando p, q." / "Sempre que p, q."
- "p implica q."
- "p é condição suficiente para q."
- "q é condição necessária para p."
- "Todo p é q."
Exercícios
Exercício 1
Quais destas frases são proposições? (a) "Paris fica na Itália." (b) "Estude para a prova!" (c) "y − 2 = 5" (d) "O número 15 é divisível por 3."
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São proposições (a) (falsa) e (d) (verdadeira). (b) é uma ordem e (c) é sentença aberta — depende do valor de y.
Exercício 2
Sabendo que p: "2 + 2 = 4" (V) e q: "5 < 3" (F), dê o valor lógico de: p ∧ q; p ∨ q; p → q; q → p; p ↔ q.
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p ∧ q = F (uma é falsa). p ∨ q = V (uma é verdadeira). p → q = V → F = F. q → p = F → V = V. p ↔ q = valores diferentes = F.
Exercício 3
Reescreva com "se... então": "Ser aprovado é condição necessária para tomar posse."
Ver resposta
A condição necessária é o consequente: "Se tomou posse, então foi aprovado." Errado seria "se foi aprovado, toma posse" — ser aprovado é necessário, mas não garante a posse.
Exercício 4
A proposição "Ou João é médico ou João é dentista" é verdadeira se João for médico e dentista ao mesmo tempo?
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Não. "Ou... ou..." é a disjunção exclusiva: só é verdadeira quando exatamente uma das partes é verdadeira. Com as duas verdadeiras, ela é falsa.
Na próxima aula, você vai organizar todos esses casos nas tabelas-verdade.