Raciocínio lógico para concursos · Aula 2 de 5
Tabelas-verdade: como montar e interpretar
Monte tabelas-verdade passo a passo, calcule o número de linhas com 2 elevado a n e identifique tautologia, contradição e contingência sem erro.
Para que serve a tabela-verdade
A tabela-verdade mostra o valor lógico de uma proposição composta em todas as combinações possíveis de valores das proposições simples. Ela responde perguntas como "esta frase é sempre verdadeira?" ou "estas duas frases dizem a mesma coisa?".
Quantas linhas?
Com n proposições simples diferentes, a tabela tem 2ⁿ linhas.
| Proposições simples | Linhas |
|---|---|
| 1 (p) | 2 |
| 2 (p, q) | 4 |
| 3 (p, q, r) | 8 |
| 4 | 16 |
Atenção
Conte proposições diferentes. Em (p ∧ q) → (p ∨ ~q), aparecem p e q; ~q não é uma proposição nova. São 2 proposições → 4 linhas.
As tabelas básicas
| p | q | p ∧ q | p ∨ q | p ⊻ q | p → q | p ↔ q |
|---|---|---|---|---|---|---|
| V | V | V | V | F | V | V |
| V | F | F | V | V | F | F |
| F | V | F | V | V | V | F |
| F | F | F | F | F | V | V |
Resumo para memorizar:
- e: só V quando tudo é V.
- ou: só F quando tudo é F.
- ou... ou...: V quando os valores são diferentes.
- se... então: só F em V → F.
- se e somente se: V quando os valores são iguais.
Montando passo a passo
Como preencher as colunas iniciais sem esquecer combinação: na primeira coluna, metade V e metade F; na segunda, alterne de dois em dois; na terceira, de um em um.
Exemplo
Tabela de (p ∧ q) → p:
| p | q | p ∧ q | (p ∧ q) → p |
|---|---|---|---|
| V | V | V | V |
| V | F | F | V |
| F | V | F | V |
| F | F | F | V |
Resolva de dentro para fora: primeiro os parênteses (p ∧ q), depois o conectivo principal (→).
Tautologia, contradição e contingência
| Classificação | O que acontece na última coluna |
|---|---|
| Tautologia | Só V — a proposição é sempre verdadeira. |
| Contradição | Só F — a proposição é sempre falsa. |
| Contingência | Mistura de V e F. |
O exemplo acima, (p ∧ q) → p, é uma tautologia.
Exemplo
p ∧ ~p é uma contradição: se p é V, ~p é F, e vice-versa — o "e" nunca terá as duas partes verdadeiras. p ∨ ~p é uma tautologia: sempre uma das partes é verdadeira.
Atalho: procure o caso que derruba
Muitas questões não exigem a tabela inteira. Para saber se um condicional é tautologia, procure se existe alguma linha com antecedente V e consequente F. Se não existir, é tautologia.
Dica
Para testar "p → (p ∨ q)": para o consequente (p ∨ q) ser F, p precisa ser F; mas aí o antecedente (p) também é F, e F → F é V. Nunca há V → F: tautologia, sem desenhar a tabela.
Exercícios
Exercício 1
Quantas linhas tem a tabela-verdade de (p → q) ∧ (r ∨ ~s) ↔ p?
Ver resposta
Proposições diferentes: p, q, r, s → 4. Linhas: 2⁴ = 16.
Exercício 2
Construa a tabela de ~p ∨ q e compare com p → q. O que você conclui?
Ver resposta
| p | q | ~p | ~p ∨ q | p → q |
|---|---|---|---|---|
| V | V | F | V | V |
| V | F | F | F | F |
| F | V | V | V | V |
| F | F | V | V | V |
As duas últimas colunas são iguais: ~p ∨ q é equivalente a p → q. Esse fato volta na aula de equivalências.
Exercício 3
Classifique (p → q) ∧ (p ∧ ~q).
Ver resposta
p ∧ ~q só é V quando p = V e q = F. Nessa linha, p → q é F. Então o "e" nunca tem as duas partes verdadeiras: é uma contradição.
Exercício 4
A proposição (p ∨ q) → p é tautologia, contradição ou contingência?
Ver resposta
Procure V → F: antecedente V e consequente F exige p = F e q = V. Nessa linha a proposição é F. Nas outras linhas ela é V (confira: p = V dá consequente V; p = F e q = F dá antecedente F). Mistura de V e F: contingência.
Agora que você sabe avaliar as frases, aprenda a negá-las corretamente na próxima aula.