Matemática financeira: juros simples e compostos · Aula 2 de 3
Juros compostos: juros sobre juros na prática
Veja como os juros compostos crescem mês a mês, use M = C · (1 + i)^t com as potências dadas na prova e resolva exercícios de aplicação e dívida.
A ideia: juros que também rendem juros
No regime de juros compostos, os juros de cada período são somados ao saldo e, no período seguinte, também rendem juros. É o famoso "juros sobre juros". Poupança, financiamentos, cartão de crédito e cheque especial funcionam assim.
Mês a mês
Exemplo
R$ 1.000,00 aplicados a 2% ao mês em juros compostos:
| Mês | Saldo no início | Juros do mês (2%) | Saldo no fim |
|---|---|---|---|
| 1 | 1.000,00 | 20,00 | 1.020,00 |
| 2 | 1.020,00 | 20,40 | 1.040,40 |
| 3 | 1.040,40 | 20,81 | 1.061,21 |
Em 3 meses, o montante é R$ 1.061,21. Nos juros simples seria R$ 1.060,00: a diferença parece pequena aqui, mas cresce muito com o tempo.
Repare que aumentar 2% é multiplicar por 1,02 (o fator da aula de aumentos e descontos). Três meses seguidos = multiplicar três vezes por 1,02 = multiplicar por 1,02³.
A fórmula
M = C × (1 + i)ᵗ e J = M − C
- C = capital; i = taxa na forma decimal; t = número de períodos.
- Taxa e tempo na mesma unidade, como nos juros simples. Mas atenção: aqui a conversão de taxa não é por multiplicação simples (veja a próxima aula).
Exemplo
R$ 2.000,00 a 5% ao mês por 4 meses: M = 2.000 × 1,05⁴. Se a prova informar que 1,05⁴ ≈ 1,2155, então M ≈ 2.000 × 1,2155 = R$ 2.431,00, e os juros ≈ R$ 431,00.
Como as provas facilitam a conta
Questões de concurso e do ENEM quase sempre dão as potências no enunciado ("considere 1,1³ = 1,331"). O seu trabalho é montar a expressão certa e usar o valor fornecido.
Dica
Antes de começar, procure no enunciado frases como "considere", "use" ou "dado". Elas dizem qual potência a banca espera que você use — e indicam que você montou certo se a sua expressão tiver exatamente aquela potência.
Achando o capital
Se a pergunta der o montante, divida pelo fator acumulado.
Exemplo
Quanto aplicar hoje, a 10% ao ano em juros compostos, para ter R$ 6.050,00 em 2 anos? C × 1,1² = 6.050 → C × 1,21 = 6.050 → C = R$ 5.000,00.
Por que dívida de cartão assusta
Com juros compostos altos, a dívida cresce de forma exponencial. Uma taxa de 10% ao mês faz a dívida mais que dobrar em pouco mais de 7 meses (1,1⁸ ≈ 2,14). Por isso a regra de ouro das finanças pessoais é evitar o rotativo do cartão e o cheque especial.
Atenção
Não confunda "aumentar 2% ao mês por 12 meses" com "aumentar 24%". Em juros compostos, 1,02¹² ≈ 1,268: o aumento acumulado é de cerca de 26,8%, e não 24%.
Para simular diferentes cenários, use a calculadora de juros compostos.
Exercícios
Exercício 1
R$ 500,00 são aplicados a 20% ao ano, em juros compostos, por 3 anos. Qual o montante?
Ver resposta
M = 500 × 1,2³ = 500 × 1,728 = R$ 864,00. Conferindo ano a ano: 500 → 600 → 720 → 864.
Exercício 2
Uma dívida de R$ 3.000,00 cresce a 10% ao mês em juros compostos. Quanto se deve depois de 2 meses?
Ver resposta
M = 3.000 × 1,1² = 3.000 × 1,21 = R$ 3.630,00.
Exercício 3
Considere 1,03⁶ ≈ 1,194. Qual o montante de R$ 10.000,00 aplicados a 3% ao mês por 6 meses, em juros compostos? E os juros?
Ver resposta
M ≈ 10.000 × 1,194 = R$ 11.940,00. J ≈ 11.940 − 10.000 = R$ 1.940,00. (Em juros simples, os juros seriam 10.000 × 0,03 × 6 = R$ 1.800,00.)
Exercício 4
Considere 1,04³ ≈ 1,125. Um capital aplicado a 4% ao mês, em juros compostos, gerou montante de R$ 4.500,00 em 3 meses. Qual era o capital?
Ver resposta
C × 1,125 = 4.500 → C = 4.500 ÷ 1,125 = R$ 4.000,00.
Na próxima aula você compara os dois regimes e aprende a converter taxas: juros simples x compostos e taxas.
Fontes oficiais
- Banco Central do Brasil — Calculadora do Cidadão, com simulação de aplicações com depósitos regulares e de financiamentos com prestações fixas.