Raciocínio lógico para concursos · Aula 3 de 5
Negação de proposições: De Morgan e quantificadores
Aprenda a negar e, ou, se...então e se e somente se pelas leis de De Morgan e a negar todo, algum e nenhum, com as pegadinhas favoritas das bancas.
Negar não é dizer o "oposto"
A negação de uma proposição é outra proposição que tem sempre o valor contrário. Ela não precisa ser o "oposto" na linguagem do dia a dia.
Exemplo
A negação de "Carlos é alto" é "Carlos não é alto" — e não "Carlos é baixo". Carlos pode ter altura média: nesse caso as duas frases "é alto" e "é baixo" seriam falsas ao mesmo tempo, e uma não nega a outra.
Leis de De Morgan
Para negar "e" e "ou", negue cada parte e troque o conectivo.
| Proposição | Negação |
|---|---|
| p ∧ q | ~p ∨ ~q |
| p ∨ q | ~p ∧ ~q |
Exemplo
"Estudo e trabalho." → negação: "Não estudo ou não trabalho." "Vou ao cinema ou ao teatro." → negação: "Não vou ao cinema e não vou ao teatro."
Negação do condicional
Este é o campeão de questões. A negação de "se p, então q" é "p e não q": mantém o antecedente, troca por "e" e nega o consequente.
~(p → q) ≡ p ∧ ~q
Exemplo
"Se chover, a festa será cancelada." → negação: "Chove e a festa não é cancelada." Faz sentido: a única maneira de desmentir a promessa é mostrar o caso V → F.
Atenção
A negação de um condicional nunca é outro condicional. Alternativas como "Se não chover, a festa não será cancelada" estão erradas — essa frase não é a negação, e sim a inversa, que não tem relação garantida com a original.
Negação do bicondicional e do "ou... ou..."
O bicondicional (p ↔ q) é V quando os valores são iguais; sua negação é V quando os valores são diferentes — exatamente o "ou... ou...".
~(p ↔ q) ≡ p ⊻ q e ~(p ⊻ q) ≡ p ↔ q
Exemplo
"Viajo se e somente se tiver férias." → negação: "Ou viajo ou tenho férias" (exatamente uma das coisas acontece).
Negação com quantificadores
| Proposição | Negação |
|---|---|
| Todo A é B. | Algum A não é B. |
| Algum A é B. | Nenhum A é B. |
| Nenhum A é B. | Algum A é B. |
| Algum A não é B. | Todo A é B. |
Exemplo
"Todos os candidatos foram aprovados." → negação: "Algum candidato não foi aprovado" (ou "pelo menos um candidato não foi aprovado"; ou "existe candidato que não foi aprovado").
Atenção
A negação de "Todo A é B" não é "Nenhum A é B". Para desmentir "todos foram aprovados", basta um reprovado — não é preciso que todos tenham sido reprovados.
Resumo para revisão
| Frase | Negação |
|---|---|
| p e q | ~p ou ~q |
| p ou q | ~p e ~q |
| se p, então q | p e ~q |
| p se e somente se q | ou p ou q |
| todo | algum... não |
| algum | nenhum |
Dica
Transforme esta tabela em cartões nos flashcards — ela cai do mesmo jeito em praticamente todas as bancas.
Exercícios
Exercício 1
Negue: "Maria é enfermeira e Paulo é professor."
Ver resposta
De Morgan: "Maria não é enfermeira ou Paulo não é professor."
Exercício 2
Negue: "Se o servidor faltar, então perderá o bônus."
Ver resposta
p ∧ ~q: "O servidor falta e não perde o bônus."
Exercício 3
Negue: "Nenhum documento foi assinado."
Ver resposta
"Algum documento foi assinado" (pelo menos um documento foi assinado).
Exercício 4
Qual é a negação de "Não estudo ou passo na prova"?
Ver resposta
De Morgan com ~p ∨ q: nega cada parte e troca o conectivo → "Estudo e não passo na prova." Repare que "não estudo ou passo" equivale a "se estudo, então passo" — e a negação bate com a regra do condicional.
Exercício 5
Negue: "Todo fiscal é concursado e algum técnico é terceirizado."
Ver resposta
De Morgan troca o "e" por "ou" e nega cada parte: "Algum fiscal não é concursado" ou "nenhum técnico é terceirizado". Resposta: "Algum fiscal não é concursado ou nenhum técnico é terceirizado."
Na próxima aula, você verá frases que dizem a mesma coisa com palavras diferentes: as equivalências lógicas.