Raciocínio lógico para concursos · Aula 4 de 5
Equivalências lógicas: contrapositiva e companhia
Domine as equivalências do condicional, a contrapositiva, a troca por ou e as do bicondicional, e evite cair na recíproca e na inversa nas provas.
O que é equivalência
Duas proposições são equivalentes (símbolo ≡) quando têm a mesma tabela-verdade: em todas as combinações, as duas são V ou as duas são F. Na prática, elas dizem a mesma coisa com palavras diferentes.
Questões de equivalência pedem: "Uma proposição equivalente a ... é:". A dica é conhecer poucas equivalências muito bem.
As duas equivalências do condicional
1. Contrapositiva
p → q ≡ ~q → ~p
Inverte a ordem e nega as duas partes.
Exemplo
"Se estudo, então passo." ≡ "Se não passo, então não estudo." Raciocínio: se estudar garante passar, quem não passou certamente não estudou.
2. Troca pelo "ou"
p → q ≡ ~p ∨ q
Nega a primeira parte, mantém a segunda e troca por "ou".
Exemplo
"Se estudo, então passo." ≡ "Não estudo ou passo."
Você conferiu essa equivalência montando a tabela na aula de tabelas-verdade.
Dica
Caminho de volta: diante de uma frase com "ou", você pode transformá-la em condicional negando a primeira parte. "Chove ou faço caminhada" ≡ "Se não chove, faço caminhada" ≡ (contrapositiva) "Se não faço caminhada, chove".
As armadilhas: recíproca e inversa
| Nome | Forma | É equivalente a p → q? |
|---|---|---|
| Contrapositiva | ~q → ~p | Sim |
| Recíproca | q → p | Não |
| Inversa | ~p → ~q | Não |
Atenção
"Se é mineiro, é brasileiro" é verdadeira. A recíproca "se é brasileiro, é mineiro" é falsa — logo, as duas não podem ser equivalentes. A inversa "se não é mineiro, não é brasileiro" também é falsa (um paulista é brasileiro). As bancas costumam colocar recíproca e inversa como alternativas erradas.
Equivalências do bicondicional
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
O "se e somente se" é um condicional de ida e volta.
Exemplo
"Recebo o bônus se e somente se bato a meta." ≡ "Se recebo o bônus, bati a meta e se bato a meta, recebo o bônus."
Também vale: p ↔ q ≡ ~p ↔ ~q ("Não recebo o bônus se e somente se não bato a meta").
Equivalências do "todo"
"Todo A é B" pode ser lido como condicional: "se é A, então é B". Por isso, a contrapositiva também funciona:
"Todo médico é formado" ≡ "Se é médico, é formado" ≡ "Se não é formado, não é médico" ≡ "Quem não é formado não é médico".
Outras equivalências úteis
| Equivalência | Nome |
|---|---|
| ~(~p) ≡ p | Dupla negação |
| p ∧ q ≡ q ∧ p ; p ∨ q ≡ q ∨ p | Comutativa |
| p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) | Distributiva |
| ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q ; ~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q | De Morgan |
Exercícios
Exercício 1
Dê a contrapositiva de "Se o processo foi arquivado, então não houve recurso."
Ver resposta
Inverta e negue as duas: "Se houve recurso, então o processo não foi arquivado." (A negação de "não houve recurso" é "houve recurso".)
Exercício 2
Escreva uma frase com "ou" equivalente a "Se o candidato zerou a redação, ele foi eliminado."
Ver resposta
~p ∨ q: "O candidato não zerou a redação ou foi eliminado."
Exercício 3
Qual das frases é equivalente a "Se a loja está aberta, o gerente está presente"? (a) Se o gerente está presente, a loja está aberta. (b) Se a loja está fechada, o gerente não está presente. (c) Se o gerente não está presente, a loja não está aberta.
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(c), a contrapositiva. (a) é a recíproca e (b) é a inversa — nenhuma das duas é equivalente.
Exercício 4
Transforme em condicional: "Não vou à academia ou janto cedo."
Ver resposta
~p ∨ q ≡ p → q, com p: "vou à academia" e q: "janto cedo". "Se vou à academia, então janto cedo." (Contrapositiva: "Se não janto cedo, não vou à academia.")
Para fechar a trilha, treine o olhar para padrões nas sequências lógicas.